Запишем расширенную матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных $x_1, x_2, x_3$ и отдельно столбец свободных членов $b_1, b_2, b_3$. $$begin 1 1 5 \ -1 -2 3 \ -1 4 -5 end $$
Приведем матрицу к нижнетреугольному виду (под главной диагональю должны быть нули) с помощью элементарных преобразований.
Прибавим ко второй строке первую. $$begin 1 1 5 \ 0 -1 8 \ -1 4 -5 end $$
Далее прибавляем к третьей строке первую. $$ begin 1 1 5 \ 0 -1 8 \ 0 5 0 end$$
Теперь осталось к третьей строке прибавить вторую строку, чтобы под главной диагональю были только нули. $$ begin 1 1 5 \ 0 -1 8 \ 0 4 8 end$$
Замечаем, что в третьей строке стоят числа, которые можно сократить на четыре. Для этого выполняем деление всей третьей строки на 4. $$ begin 1 1 5 \ 0 -1 8 \ 0 1 2 end$$
Теперь выполняем обратный ход Гаусса снизу вверх. Прибавляем ко второй строке третью строку. $$begin 1 1 5 \ 0 0 10 \ 0 1 2 end$$
Задание №20. Экзамен ОГЭ. Система уравнений #shorts
Сразу замечаем, что вторую строку можно сократить на 5. $$begin 1 1 5 \ 0 0 2 \ 0 1 2 end$$
Продолжаем обратный ход, вычитаем третью строку из первой. $$begin 1 0 3 \ 0 0 2 \ 0 1 2 end$$
Осталось из первой строки вычесть вторую строку, умноженную на 2, для того, чтобы в первой строке появился ноль. $$begin 1 0 -1 \ 0 0 2 \ 0 1 2 end$$
Теперь перепишем получившуюся матрицу в виде системы уравнений, чтобы в дальнейшем получить чему равны неизвестные $x_1, x_2, x_3$. $$begin x_1 = -1 \ x_2 = 2 \ x_3 = 2 end$$
Записываем расширенную матрицу $$ begin 24|3111 \ 29|8237 end.$$
Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из неё первую строчку. Из третьей строки просто вычитаем первую. Умножаем четвертую строку на 2 и вычитаем из неё первую строку, умноженную на 3. Получаем матрицу $$begin 24|112 \ 05|1114 end.$$
Берем вторую строку, умноженную на 5 и вычитаем из третьей. Затем вторую строку вычитаем из четвертой. $$begin 24|112 \ 05|0012 end$$
Теперь умножаем третью строку на 6 и вычитаем её из четвертой строки, умноженной на 5. $$begin 24|112 \ 05|0-60 end$$
Получили нижнетреугольную матрицу, то есть ниже главной диагонали расположены нули. Теперь проделываем элементарные преобразования снизу вверх, так называемый обратный ход Гаусса. Но прежде замечаем, что появилась строка, в которой можно выполнить сокращение. А именно в четвертой строке можно разделить все числа на (-6). И получаем $$begin 24|112 \ 05|010 end$$
Вот теперь вычитаем четвертую строчку из третьей, второй и первой. $$begin 24|102 \ 05|010 end$$
Из второй строки мы не будем вычить третью, потому что там итак стоит ноль, ради которого мы проводим элементарные преобразования, поэтому пропускаем этот шаг.
Умножаем на 4 третью строку и вычитаем её из первой, умноженной на 5. $$begin 100|102 \ 05|010 end$$
Замечаем, что в первой строке можно все числа сократить на 5. $$begin 20|102 \ 05|010 end$$
ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод Подстановки
Теперь остался последний шаг это умножить вторую строку на 5 и вычесть из первой. $$begin 20|102 \ 05|010 end$$
Замечаем, что первую строку можно сократить на 2, а третью строку на 5. $$begin 10|102 \ 01|010 end$$
Переписываем матрицу в виде привычной системы уравнений и получаем ответ $$begin 10|102 \ 01|010 end sim begin x_1 = 1 \ x_2 = 2 \ x_3 = 2 \ x_4 = 0 end.$$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Несовместность системы (нет решений)
Если в результате элементарных преобразований появилась нулевая строка вида $$begin 00b end text < где >b neq 0,$$то система уравнений не имеет решений. На этом алгоритм Гаусса заканчивает свою работу и можно записывать ответ, что система несовместна, то есть нет решений.
Как обычно пишем расширенную матрицу по коэффициентам при неизвестных переменных и столбцу свободных членов $$begin 7-12 \ 6-53 \ 145 end.$$
Запускаем алгоритм Гаусса. Идём сверху вниз. Умножаем вторую строку на 7 и вычитаем из неё первую строчку умноженную на 6. Затем первую строку вичитаем из третьей, умноженной на 7. $$begin 7-12 \ 0-299 \ 02933 end$$
Далее по алгоритму прибавляем вторую строку к третьей. $$begin 7-12 \ 0-299 \ 0042 end$$
Видим, что в результате элементарных преобразований появилась строка в которой все нули, кроме свободного члена. Это означает, что система несовместа, то есть у системы уравнений нет решения.
Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений)
Часто после элементарных преобразований в расширенной матрице появляются нулевые строки вида $$begin 000 end.$$ Такую строку нужно вычеркивать из матрицы и система уравнений будет иметь бесконечное множество решений. Разберем это на практике.
Составляем расширенную матрицу $$begin 1-14 \ 3-57 \ 3-72 end.$$
Из второй и третьей строки вычетаем первую, умноженную на 3. $$begin 1-14 \ 0-2-5 \ 0-4-10 end$$
Из третьей строки вычитаем вторую, домноженную на 2. $$begin 1-14 \ 0-2-5 \ 000 end$$
Теперь согласно обратному ходу Гаусса вторую строку прибавляем к первой. $$begin 1-3-1 \ 0-2-5 \ 000 end$$
По окочанию элементарных преобразований получилась строка, в которой все элементы равны нулю. Значит, система имеет бесконечное множество решений. Для его записи понадобится отличать базисные и свободные переменные. Обычно за базисные берут переменные, которые стоят на главной диагонали, а остальные свободные. В нашем случае базисными будут $x_1, x_2$, а свободной $x_3$.
Переписываем матрицу в виде системы $$begin 1-3-1 \ 0-2-5 \ 000 end sim begin x_1-3x_3 = -1 \ -x_2-2x_3 = -5 end.$$
Так как $x_1, x_2$ являются базисными переменными, то их переносим в левую часть равенства, а всё остальное в правую часть. Получившееся называют общим решением решением системы уравнений $$begin x_1-3x_3 = -1 \ -x_2-2x_3 = -5 end sim begin x_1 = 3x_3-1 \ x_2 = 5-2x_3 end.$$
Чтобы получить частное решение системы уравнений нужно вместо свободного $x_3$ подставить любое число, например $x_3 = 0$. Тогда получаем, что $$begin x_1 = -1 \ x_2 = 5 end.$$ Возьмем ещё например $x_3 = 1$ и получаем $$begin x_1 = 2 \ x_2 = 3 end.$$
Можно брать различные числа вместо $x_3$ и получать бесконечное множество решений.
Общее решение системы уравнений $$begin x_1 = 3x_3-1 \ x_2 = 5-2x_3 end.$$
Частные решения системы уравнений $$begin x_1 = -1 \ x_2 = 5 end, begin x_1 = 2 \ x_2 = 3 end.$$
Источник: xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai
Системы уравнений
У этого уравнения может быть много решений: x=1, y=9; x=2, y=8; x=3, y=7 и т.д.
Какое из решений выбрать — непонятно. Ситуация становится более определённой, если мы знаем, что между x и y существует ещё какая-то другая взаимосвязь. Например, мы знаем про те же самые x и y, что y-x = 2.
Итак, мы можем записать:
x + y = 10
y — x = 2
То, что мы записали, называется системой уравнений. Уравнения, входящие в систему, объединяются большой фигурной скобкой. Чтобы система уравнений имела решение, число уравнений должно быть равно числу неизвестных.
Так как это связанные между собой уравнения, то мы можем выразить, например, y через x в первом уравнений, и подставить получившееся выражение вместо y во второе уравнение — тем самым во втором уравнении останется только одно неизвестное (x) и мы сможем решить уравнение.
Запишем это в виде формул.
x + y = 10
y = 10 — x
Подставляем полученное выражение 10 — x вместо y во второе уравнение:
y — x = 2
10 — x — x = 2
10 — 2 = x + x
8 = 2x
x = 4
Система уравнений: Калькулятор метода замены
Инструкции: Используйте этот калькулятор, чтобы решить систему двух линейных уравнений методом подстановки, показывая все шаги. Пожалуйста, введите два действительных линейных уравнения в поля ниже:
Подробнее о методе подстановки для решения линейных систем
Существуют различные подходы к решению систем уравнений. В случае линейных систем 2 на 2 существуют такие подходы, как метод построения графиков которые полезны, потому что они дают вам графическое представление уравнений в виде линий и решения системы в виде точек пересечения.
Но проблема с графический метод заключается в том, что он не всегда дает вам точное решение, вы в основном всегда получаете приближенное решение.
метод замены — это методология решения систем уравнений, которая найдет решения аналитически и найдет точное решение.
Как использовать этот калькулятор замены с шагами
- Есть две коробки для вас, чтобы написать уравнения
- Обязательно напишите линейные уравнения с двумя переменными
- Если у вас более двух переменных или двух уравнений, используйте этот общий Калькулятор системы уравнений
Как решить систему уравнений подстановкой?
Подход очень простой:
1) Выберите одно из двух уравнений, которое легко решить для любого (x) или (y), и решите эту переменную через другую переменную.
Часто уравнения задаются как, например, «(x = 2y + 3)», где оно уже решено для (x), или, например, «(y = 2x + 3)», где оно уже решено для (y).
2) Теперь, когда вы нашли решение для одной переменной в одном из уравнений, используйте эту переменную, для которой вы решили, и подставьте ее в другое уравнение.
3) Это уравнение будет с точки зрения другой переменной (не той, для которой вы изначально решили), а затем вы решите ее и получите числовой результат.
4) С числовым результатом, найденным для другой переменной, вернитесь к исходной переменной, для которой вы решили, и подставьте значение, которое вы только что решили численно.
Как сделать замену на калькуляторе?
Многие спрашивают, как решить систему уравнений на калькуляторе, но бывает, что все системы работают по-разному. С этим калькулятором все, что вам нужно сделать, это ввести свою систему, указав два линейных уравнения .
Эти уравнения могут быть упрощены или нет, но пока уравнения являются допустимыми линейными уравнениями, они будут работать нормально.
После того, как вы введете два уравнения, наш калькулятор попытается выбрать лучшую переменную для подстановки и подставить эту подстановку обратно в другое уравнение.
Что понимается под методом замещения?
Название прямо указывает на выполняемую процедуру: вам нужно найти одну замену, которая получается с помощью одного из уравнений для решения одной переменной через другую. Это замена.
А затем вы берете замену и подставляете ее в другое уравнение. Вот почему он называется методом замещения. Меня можно было бы назвать методом «обратного подключения», но это не прижилось.
Пример: Решение системы методом подстановки
Вопрос: Рассмотрим следующую систему уравнений.
[begin displaystyle 3x+2y 3\\displaystyle x-2y 2 end ]
Найдите ее решение методом подстановки.
Шаг 1: Найдите замену