Теория вероятностей (разг. сокр. “тервер”) — это раздел математики, который занимается анализом случайных событий. С её помощью можно вычислить вероятность события — оно показывает насколько вероятно, что какое-то событие произойдёт. Это число всегда находится в интервале между 0 и 1, где 0 — означает невозможность, а 1 — оно точно произойдёт (достоверное событие).
Например: в мешке есть 6 шаров: 3 красных, 2 жёлтых и 1 синий. Какова вероятность вытащить красный?
Вероятность считается так: количество красных шаров поделить на общее количество шаров в мешке, т. е. 3/6 = 1/2.
Основные формулы теории вероятностей
Теоремы сложения и умножения вероятностей
| Сложение противоположных событий | P(A) + P(A̅) = 1 |
| Сложение несовместных событий | P(A + B) = P(A) + P(B) |
| Сложение совместных событий | P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB) |
| Умножение независимых событий | P(AB) = P(A) × P(B) |
Основные формулы вычисления
ОГЭ. Задание 9. Теория вероятности. Найти вероятность
Виды событий
В теории вероятностей события бывают невозможными, случайными и достоверными.
Невозможное событие
Это то, которое уже известно, что в ходе испытания НЕ произойдёт, т. е. вероятность данного события равна нулю. Например: при бросании одной игральной кости (один раз), какова вероятность того, что выпадет 7 очков?
Случайное событие
Это событие может произойти или нет, обычно оно именно случайное. Например: при бросании игральной кости, какова вероятность того, что выпадет чётное число очков?
Достоверное событие
Это то, которое в ходе испытания обязательно произойдёт, т. е. вероятность данного события равна 1. Например: при бросании игральной кости, какова вероятность того, что она не останется в воздухе, а упадёт?
Совместные и несовместные события
Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого (в одном и том же испытании). Например: при бросании одной игральной кости выпадет одновременно и «2» и «3»?
Совместные события могут произойти одновременно. Например: два спортсмена плывут одновременно, два студента сдают экзамен.
Противоположные события
Это два несовместимых события, которые образуют полную группу событий (третьего не существует). Например:
Теория вероятностей | Математика TutorOnline
- А — при подбрасывании монеты выпадет орёл, A̅ — при подбрасывании монеты выпадет решка;
- D — из колоды карт будет извлечена дама, D̅ — из колоды карт будет извлечена не дама.
Алгебра событий
Логическое ИЛИ означает, что нужно произвести операцию сложения (сумма событий). Т. е. считаем возможность или событие А, или событие В, или оба (одновременно).
Логическое И — операция умножения (произведение событий). Т. е. считаем возможность и событие А, и событие В.
Задачи
Пример 1
В классе 27 учеников. Из них:
17 изучали немецкий язык,
Найти вероятность того, что случайно выбранный ученик изучал хотя бы один язык.
Что мы знаем:
Значит вместе это будет:
(N + A) = (N) + (A) − (N ∙ A) = 17/27 + 6/27 − 2/27 = 21/27 = 7/9.
Пример 2
Лотерейные билеты пронумерованы от 1 до 100. Какова вероятность того, что в выбранном билете будет стоять число больше 40 или чётное число?
Что мы знаем:
P(>40) = 60/100 = 6/10 = 3/5
Логическое ИЛИ означает, что нам нужно произвести операцию сложения (т. е. сумма событий).
Нам понадобится формула сложения совместных событий P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB).
Для этого нам нужно узнать сколько будет P(>40 . Ch), для этого используем формулу P(AB) = P(A) . P(B).
P(>40 . Ch) = P(>40) . P(Ch) = ⅗ . ½ = 3/10
Теперь можем подставить всё в формулу P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB):
P(>40 + Ch) = P(>40) + P(Ch) — P(>40.Ch) = 6/10 + 5/10 — 3/10 = 8/10 = ⅘.
Пример 3
В финале международного турнира по стрельбе из лука участвовали 8 спортсменов: 3 американца, 1 англичанин, 1 немец, 1 француз и 2 русских. Какова вероятность того, что хотя бы один русский попадёт в тройку лучших, учитывая, что все спортсмены имеют равные условия для получения медали (золотой, серебряной и бронзовой).
Что мы знаем:
Когда в вопросе появляется «хотя бы один», можно «пойти от противного» — мы должны найти вероятность того, что этого не произойдёт (на пьедестале русских не будет), а затем вычесть это из 1.
P (никакой русский не выиграет золото) = 6/8 = 3/4
P (никакой русский не выиграет серебро) = 5/7 (убираем золотую медаль)
P (никакой русский не выиграет бронзу) = 4/6 = 2/3 (убираем золотую и серебряную медали)
P (на пьедестале не будет русских) = 3/4 x 5/7 x 2/3 = 30/84 = 5/14
P (хотя бы один русский на пьедестале) = 1 – 5/14 = 14/14 – 5/14 = 9/14.
Кто придумал теорию вероятностей
Основателями теории вероятностей являются два французских математика Блез Паскаль и Пьер Ферма. В 1654 г. французский писатель Антуан Гомбо (известный как Шевалье де Мере), интересовавшийся игрой и азартными играми, вызвал заинтересованность Паскаля насчёт популярной в то время игры в кости.
Кости бросались 24 раза, а вопрос стоял в том, стоит ли ставить деньги на выпадение хотя бы одной «двойной шестёрки». В то время считалось, что это было выгодно, но последующие расчёты показали прямо противоположное.
Дата обновления 16/03/2021.
Источник: www.uznaychtotakoe.ru
Задачи на вероятность как решать ютуб
Вася написал на листке бумаги записку, сложил её вчетверо, надписал сверху «МАМЕ» (см. фото). Затем он развернул записку, дописал ещё кое-что, опять сложил записку по линиям сгиба случайным образом (не обязательно, как раньше) и оставил на столе, положив случайной стороной вверх. Найдите вероятность того, что надпись «МАМЕ» по-прежнему сверху.
Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число A из отрезка [1, 2] и заставляет программу решать уравнение 3x + A = 0. Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше чем –0,4.
Имеется три ящика, в каждом из которых лежат шары с номерами от 0 до 9. Из каждого ящика вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что
а) вынуты три единицы;
б) вынуты три равных числа?
В наборе –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 замените одно число двумя другими целыми числами так, чтобы дисперсия набора и его среднее не изменились.
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 145]
Проект осуществляется при поддержке и .
Источник: problems.ru
Задачи на вероятность как решать ютуб
Задача 1. На фабрике керамической посуды 20% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
Из 20% дефектных тарелок отбраковывается 70%, т.е. доля отбракованных тарелок от общего числа составляет . Соответственно в продажу поступает 100%-14% тарелок и среди них не бракованных 86%-6% тарелок. Следовательно, вероятность покупки тарелки без дефектов будет равна
Задача 2. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02.
Известно, что 66% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Из всех пациентов, поступивших в клинику, 66% действительно больны гепатитом, а 34% — не больны. Положительный результат на гепатит может появиться при двух событиях:
: пациент действительно болен (вероятность 0,66) и анализ дал положительный результат (вероятность 0,9);
: пациент не болен (вероятность 0,34), но анализ дал положительный результат (вероятность 0,02).
Вероятность события , равна
Решением задачи является вероятность суммы двух независимых событий и :
Задача 3. Вероятность того, что новый HDD (жесткий диск) в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,05. В некотором городе из 3000 проданных HDD в течение года в гарантийную мастерскую поступили 120 штук. Насколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Частота события «гарантийный ремонт» равна
От вероятности она отличается на .
Источник: self-edu.ru